Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• La loi normale est tellement pratique qu'on aimerait bien pouvoir l'étendre à la situation multivariée \(\rightarrow\) loi multinormale

On écrira

\(\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_k)\) sont des variables aléatoires en nombre k distribuées selon une loi multinormale de vecteur de moyennes \(\boldsymbol{\mu}\) et de matrice de variance-covariance \(\Sigma\)

sous la forme \(\boldsymbol{X} \sim \mathcal{N}_{\color{red}{k}}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)\)

mais à la matrice de variance-covariance on préfère la matrice de précision \(\color{red}{\Omega = \Sigma^{-1}}\)

La formule de la densité de la loi multinormale de dimension \(k\) est la suivante :

\(f(\boldsymbol{x})=\dfrac{1}{|\Sigma|^{1/2} (2 \pi)^{k/2}} e^{-\frac{1}{2} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) }\)

• Entièrement spécifiée par

  1. Vecteur des moyennes (modes, médianes) \(\boldsymbol{\mu} = (\mu_1, \ldots, \mu_k)^T\)

  2. Matrice de variance-covariance \(\Sigma\)

La formule de la fonction de répartition n'est pas du tout triviale!

\(\Sigma\) est symétrique et doit être définie positive

\(\Sigma = \left( \begin{array}{cccc}\sigma_1^2 & \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 & \ldots & \rho_{1k}\sigma_1\sigma_k\\\rho_{12}\sigma_1\sigma_2& \sigma_2^2 & \ldots & \rho_{2k}\sigma_2\sigma_k\\\ldots \\\rho_{1(k-1)}\sigma_1\sigma_{k-1} & \rho_{2(k-1)}\sigma_2\sigma_{k-1} & \ldots & \rho_{(k-1)k}\sigma_{k-1}\sigma_{k}\\\rho_{1k}\sigma_1\sigma_k & \rho_{2k}\sigma_2\sigma_k & \ldots & \sigma_k^2 \end{array} \right)\)

• \(\sigma_i^2\) est la variance de \(X_i\)

• \(\sigma_i\) est l'écart-type de \(X_i\)

• \(\rho_{ij}\) est la corrélation entre \(X_i\) et \(X_j\)