Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

Vigilance car la loi normale est symétrique, définie de \(-\infty\) à \(+\infty\)

Pour des valeurs positives et à distribution asymétrique (faibles proportions de fortes valeurs), on peut utiliser la loi log-normale :

\(X \sim log\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2 \right) \Leftrightarrow \log{(X)} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2 \right)\)

Attention aux caractéristiques de la loi

Si \(X \sim log\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2 \right)\), sa distribution empirique a :

• Moyenne: \(e^{\mu + \sigma^2/2}\)

• Mode: \(e^{\mu - \sigma^2}\)

• Médiane: \(e^{\mu}\)

• Variance: \(\left( e^{\sigma^2} - 1 \right) e^{2\mu + \sigma^2}\)

Si la distribution de \(X\) a une moyenne \(m\) et un écart-type \(s\) alors log(X) est une log-normale dont moyenne et variance sont :

• Moyenne: \(\log{(m)} - \frac{1}{2} \log{\left(1 + \dfrac{s^2}{m^2} \right)}\)

• Variance: \(\log{\left(1 + \dfrac{s^2}{m^2} \right)}\)