Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

Vigilance car la loi normale est symétrique, définie de $-\infty$ à $+\infty$

Pour des valeurs positives et à distribution asymétrique (faibles proportions de fortes valeurs), on peut utiliser la loi log-normale :

$X \sim log\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2 \right) \Leftrightarrow \log{(X)} \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2 \right)$

Attention aux caractéristiques de la loi

Si $X \sim log\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2 \right)$, sa distribution empirique a :

• Moyenne: $e^{\mu + \sigma^2/2}$

• Mode: $e^{\mu - \sigma^2}$

• Médiane: $e^{\mu}$

• Variance: $\left( e^{\sigma^2} - 1 \right) e^{2\mu + \sigma^2}$

Si la distribution de $X$ a une moyenne $m$ et un écart-type $s$ alors log(X) est une log-normale dont moyenne et variance sont :

• Moyenne: $\log{(m)} - \frac{1}{2} \log{\left(1 + \dfrac{s^2}{m^2} \right)}$

• Variance: $\log{\left(1 + \dfrac{s^2}{m^2} \right)}$