Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

Loi de Gauss, Laplace-Gauss ou loi normale

• Aspect typique

  • Forme en cloche

  • Symétrique

  • Moyenne, médiane et mode sont confondues

• Principale loi de probabilité

• Peut être observée empiriquement : De nombreux phénomènes de la nature suivent cette distribution (mais attention à éviter toute formulation téléologique)

  • Taille des enfants à la naissance

  • Débit expiratoire de pointe chez des sujets normaux

  • Glycémie chez des sujets normaux

La formule de la densité de la loi normale est la suivante \(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\)

• Entièrement spécifiée par

  1. Moyenne (mode, médiane) \(\mu\)

  2. Variance \(\sigma^2\)

• Si \(\mu=0\) et \(\sigma=1\) : loi normale centrée-réduite \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\dfrac{x^2}{2}}\)

• Le cœur de la densité est \(\dfrac{1}{\sigma} \exp{\left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}\)

• La fonction de répartition est \(F(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \displaystyle{\int_{- \infty}^x}{e^{-\frac{1}{2}t^2} \mathrm{d}t}\)

On écrira

X est une variable aléatoire distribuée selon une loi normale de moyenne \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\)

sous la forme \(\color{red}{X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\)

Mais souvent en inférence bayésienne, on préfère la précision à la variance \(\tau = \dfrac{1}{\sigma^2}\)

Définie pour des valeurs de \(-\infty\) à \(+\infty\)

• Si \(X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2_1)\) et \(Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2_2)\), \(X\) et \(Y\) étant indépendants, alors \(aX - bY \sim \mathcal{N}(a\mu_1 - b\mu_2, a^2\sigma^2_1 \color{red}{+} b^2 \sigma^2_2)\)

• L'aire sous la courbe vaut 1

• Calcul de l'aire sous la courbe (ASC) entre deux points, pour une loi centrée-réduite

  • ASC située à gauche de la valeur 0 vaut 0,5

  • ASC située entre -0.4 et + 0.4 = 31%

  • ASC entre -0.4 et + 0.7 = 41%

  • ASC située à gauche de la valeur -1,96 vaut 0,025

  • ASC située à droite de la valeur +1,96 vaut 0,025

    \(\Rightarrow\) entre les valeurs -1,96 et + 1,96, 95% de la surface totale, soit 0,95

• Utilisation très générale