La loi de Poisson

  • Loi de probabilité discrète

  • Nombre d'événements (ou d'« arrivées ») se produisant dans un laps de temps fixé

  • Ces événements doivent se produisent avec une moyenne constante, indépendamment du temps entre chaque événement

Bibliographie

Poisson SD. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Bachelier, Paris, 1837.

La formule de la densité de la loi de Poisson est la suivante :

\(\color{red}{p(X=k)} = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\)

\(\Rightarrow\) probabilité qu'il existe \(k\) événements (k étant un entier)

  • Entièrement spécifiée par

    1. Moyenne \(\lambda\)

    2. Variance \(\lambda\) → égale à la moyenne

  • Médiane sans expression explicite

  • Mode(s)

    • \(\lambda\) pour \(\lambda\) non entier

    • \(\lambda\) et \(\lambda-1\) pour \(\lambda\) entier

La fonction de répartition n'est pas triviale et fait intervenir la fonction \(\Gamma\).

On écrira

\(X\) est une variable aléatoire distribuée selon une loi de Poisson de paramètre (ou de moyenne) \(\lambda\)

sous la forme \(\color{red}{X \sim \mathcal{P}(\lambda)}\)

Exemple

Un événement se produit en moyenne 63 fois par heure

La variable aléatoire \(X\) « nombre d'événements se produisant en 10 minutes » peut être modélisée par une loi de Poisson de paramètre \(\lambda = 63/6 = 10.5\)

On a alors:

\(\begin{array}{lclcl} p(X=0) &=& e^{-\lambda} &=& 3.10^{-5} \\ p(X=1) &=& \lambda e^{-\lambda} &=& 0.0003 \\ p(X=10) &=& \dfrac{\lambda^{10}}{10!}e^{-\lambda} &=& 0.1236 \\[1.5ex] p(X=11) &=& \dfrac{\lambda^{11}}{11!}e^{-\lambda} &=& 0.1180 \\[1.5ex] p(X=100) &=& \dfrac{\lambda^{100}}{100!}e^{-\lambda} &\simeq& 0 \\[1.5ex] p(X \geqslant 2) &=& 1 - p(X=0) - p(X1) &=& 0.9996833 \end{array}\)

\(X \sim \mathcal{P}(10,5)\)

Manipulation

  • Choisir \(\lambda\)

  • Voir l'effet sur la densité et la fonction de répartition