Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• Première mention: Daniel Bernoulli

• \(\Gamma : x \longmapsto \displaystyle{\int_0^{+\infty}{t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t}}\)

• Généralisation de la fonction factorielle aux réels strictement positifs, car pour un entier \(\Gamma(n+1) = n!\)

• Définie par récurrence

  • \(\Gamma(1) = 1\)

  • \(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\)

• Valeur phare : \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)

• Pour des variables aléatoires réelles strictement positives : \(]0, + \infty[\)

• Nombreuses situations d'application (en théorie)

  • Variable continue non nulle: dosage biologique

  • Si \(X\) peut être nulle, transformer en \(X + \epsilon\) (mais attention au choix de \(\epsilon\))

La formule de la densité de la loi gamma est la suivante :

\(f(x)= x^{\alpha-1} \dfrac{\beta^{\alpha} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}\)

• Entièrement spécifiée par

  1. Forme \(\alpha\) (shape)

  2. Intensité \(\beta\) (rate)

• Paramétrage alternatif : forme \(\alpha\) et échelle (scale) \(1/\beta\)

La fonction de répartition est appelée « fonction gamma incomplète » \(F(x) = \dfrac{\displaystyle{\int_0^{x}{t^{\beta x-1}e^{-t}\mathrm{d}t}}}{\Gamma(\alpha)}\)

On écrira

\(X\) est une variable aléatoire distribuée selon une loi gamma de forme \(\alpha\) et d'intensité \(\beta\)

sous la forme \(\color{red}{X \sim \Gamma(\alpha, \beta)}\)

Attention : même notation pour la fonction et pour la loi gamma

Les paramètres \(\alpha\) et \(\beta\) sont peu parlant

La moyenne de la loi gamma est \(\frac{\alpha}{\beta}\) et sa variance \(\frac{\alpha}{\beta^2}\)

\(\Rightarrow\) « jongler » entre paramètres pour l'implémentation de la loi et indicateurs pour la clarté

\(\left\{ \begin{array}{lcl} m&=& \dfrac{\alpha}{\beta} \\[3ex] \sigma^2&=& \dfrac{\alpha}{\beta^2} \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} \alpha &=& \dfrac{m^2}{\sigma^2} \\[3ex] \beta &=& \dfrac{m}{\sigma^2} \end{array} \right.\)

On peut ajouter un paramètre de « calibration » de la variable aléatoire :

\(f(x)= \color{red}{\delta} x^{\color{red}{\delta} \alpha-1} \dfrac{\beta^{\color{red}{\delta} \alpha} e^{-(\beta x)^{\color{red}{\delta}}}}{\Gamma(\alpha)}\)