Les fondements théoriques et pratiques de l'utilisation de la loi normale
Théorème central limite
Lois des grands nombres (Bernoulli J, 1713)
Théorème central limite (nom proposé en 1920 par G Polya) : Convergence vers la loi normale d'une somme de variables aléatoires
de Moivre : binomiale et \(p=\frac{1}{2}\) (1718)
Laplace: binomiale quelconque (1812)
Poisson: variables aléatoires non identiquement distribuées (1837)
Démonstrations de Cauchy, inégalité de Bienaymé-Chebychev
Important : Formulation actuelle
Toute somme de variables aléatoires indépendantes, même de distributions différentes, est asymptotiquement normale, à la seule condition qu'aucune distribution n'occupe dans la somme une place plus importante que les autres.
Important : D'où la grande généralité de la loi normale
Si la valeur d'une mesure biologique (dosage sanguin, taille ou poids d'un sujet, paramètre physiologique etc) résulte de l'action d'un grand nombre de paramètres (gènes, environnement, etc), avec des effets additifs chacun de faible ampleur par rapport aux autres, alors la mesure est distribuée suivant une loi de Gauss.
Utilisation pratique de la loi
En pratique : toujours sur des données observées et non pas théoriques
Utiliser le théorique pour gérer l'observé
On calcule la moyenne observée : \(m\)
On calcule l'écart-type observé : \(s\)
Ce qui définit une loi normale de moyenne \(\mu=m\) et \(\sigma=s\)
On utilise la loi correspondante en lieu et place des valeurs observées
Modèle simple, adapté à de nombreuses variables aléatoires « naturelles »
Sépare moyenne (paramètre de position) et variance (paramètre de dispersion)
Généralisable à la situation multivariée (plusieurs variables conjointement)