Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• Famille de lois mais loi \(t\) popularisée par RA. Fisher

• Si \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) et \(Y \sim \chi^2(k)\) alors \(\dfrac{X}{\sqrt{Y/k}} \sim t(k,\mu,\sigma^2)\).

• Fonction symétrique, en forme de cloche mais moins pointue et plus large que la loi normale

• Densité \(\dfrac{1}{\sigma \sqrt{k\pi}}\dfrac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \color{blue}{\left( 1 + \frac{(x-\mu)^2}{k \sigma^2} \right)^{-\frac{k+1}{2}}}\)

Loi « centrée et réduite » de Student

Si \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\) et \(Y \sim \chi^2(k)\) alors \(\dfrac{X}{\sqrt{Y/k}} \sim t(k)\).

Centrée sur 0

Densité \(\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}\dfrac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \color{blue}{\left( 1 + \frac{x^2}{k} \right)^{-\frac{k+1}{2}}}\)

Moyenne non définie pour \(k=1\) et 0 sinon

Mode et médiane 0

Variance infinie pour \(k=1\) ou \(k=2\) et \(\dfrac{k}{k-2}\) sinon