Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

On appelle espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète \(X\) la quantité :

\(E(x) = \sum_{x=0}^{\infty} [x\Pr(x)]\)

Dans le cas continu :

\(E(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} [xf(x)]dx\)

On peut définir les notions équivalentes pour une distribution à \(n\) dimensions

• Utilisation : l'espérance est la moyenne d'une loi de probabilité.

• Si on associe un gain à chaque modalité d'une loi discrète, l'espérance mathématique est le gain moyen attendu.

On peut définir de nombreux paramètres d'une loi de probabilité, dont :

• la moyenne

• la médiane

• le mode

• la variance et l'écart-type

La moyenne : \(m = E(X)\)

avec les propriétés suivantes :

• \(m_{a+bX} = a + b m_X\)

• \(m_{X \pm Y}= m_X \pm m_Y\)

• \(m_{XY} = m_X m_Y\)

La variance :

\( \sigma^2 = \sum_{x=0}^{\infty}[(x-m)^2\Pr(x)] \ \ \mathrm{ou} \ \ \int_{-\infty}^{+\infty}[(x-m)^2 f(x)]dx\)

• principales propriétés de la variance :

  • \(\sigma^2_{a+bX}=b^2\sigma^2_X\)

  • \(\sigma_{a+bX}=|b|\sigma_X\)

  • pour deux variables aléatoires indépendantes : \(\sigma^2_{X \pm Y} = \sigma^2_X+\sigma^2_Y\)

  • pour \(m\) variables aléatoires indépendantes : \(\sigma^2_{X_1 \pm \dots X_m} = \sigma^2_{X_1}+ \dots + \sigma^2_{X_m}\)

• Le cas du produit de deux variables aléatoires est plus complexe.