Lois à une ou à plusieurs dimensions
Définition : Loi unidimensionnelle / à une dimension
Une loi de probabilité est dite à une dimension si elle est caractérisée par une seule variable aléatoire \(X\)
Définition : Loi multidimensionnelle / à plusieurs dimensions
\(\color{orange}{N.B.}\) Une loi de probabilité est dite à \(n\) dimensions si elle est caractérisée par \(n\) variables aléatoires \(X, Y, \dots ...\)
Une loi à plusieurs dimensions peut combiner variables discrètes et continues, bornées et non bornée.
Exemple :
Exemple d'une loi discrète à deux dimensions :
On a alors, pour un couple de valeurs \((X=x, Y=y)\) :
\(\Pr(x,y) = \Pr(X=x \ \mathrm{et} Y =y)\)
La fonction de répartition est :
\(F(x,y) = \Pr(X \leqslant x \ \mathrm{et} \ Y \leqslant y)\)
Et :
\(\sum_{x=0}^{\infty} \sum_{y=0}^{\infty} \Pr(x,y) = 1 \ \ \ \mathrm{et} \ \ \ 0 \leqslant F(X) \leqslant 1\)
Notion de loi de probabilité
Notion de distribution marginale pour une loi discrète :
en sommant par rapport à l'une des deux variables seulement, on obtient les distributions marginales (équivalentes des marges d'un tableau croisé), soit :
\(\Pr(x) = \sum_{y=0}^{\infty} \Pr(x,y) \ \ \ \mathrm{et} \ \ \ \Pr(y) = \sum_{x=0}^{\infty} \Pr(x,y)\)
Notion de distribution marginale pour une loi continue :
de même que dans une loi continue à une dimension :
\(\Pr(x,y)=0\)
d'où le recours à la fonction de répartition
\(F(x,y) = \Pr(X \leqslant x \ \mathrm{et} \ Y \leqslant y)\)
\(lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \{ [F(x + \Delta x, y + \Delta y) - F(x,y)] / (\Delta x \Delta y)\}\)
\(= \partial^2F/(\partial x \partial y)\)
On a alors, par ailleurs :
\(\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(x,y)dxdy=F(x,y)\)
et
\(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dxdy = 1\)
Les densités marginales sont :
\( f_1(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy \ \ \ \mathrm{et} \ \ \ f_2(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx\)