Lois discrètes ou continues
Notion de loi discrète
Définition : Loi discrète
Une loi de probabilité est dite discrète quand l'expérience aléatoire associée à cette loi ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs distinctes (qualitatives ou quantitatives)
Exemple :
présence ou non d'une anomalie génétique chez un sujet
nombre de « Face » sur 13 lancers de pièces
nombre d'enfants dans une famille
groupes sanguins
Illustration : Lancer de dés
l'expérience : lancer du dé
les résultats possibles : \(\{1, \dots, 6\}\)
les probabilités associées : \(\{1/6, \dots, 1/6\}\)
la loi de probabilité est la combinaison de l'ensemble des résultats et des probabilités associées
donc,
\(\Pr(x) = 1/6, \forall x\)
\(F(x) = \{1/6, 2/6, \dots, 1\}\)
Principales propriétés des lois de probabilités discrètes :
Les évènements étant exclusifs, on a :
\( \sum_0^{+\infty} \Pr(x)=1\)
et
\(0 \leqslant F(x) \leqslant 1\)
Deux valeurs notables :
\(F(x) = 0 \ \ \ \mathrm{pour} \ \ \ x<0\)
et \(F(+\infty)=1\)
Notion de loi discrète ou continue
Définition : Loi continue
Une loi de probabilité est dite continue quand l'expérience aléatoire associée à cette loi peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle défini, ouvert ou non.
Pour une loi continue :
la notion de distribution de probabilité n'a plus de sens
car elle donne la probabilité qu'un sujet \(i\) prenne une valeur \(x_i\) donnée
mais ici \(\Pr(X=x_i) = 0, \forall i\)
d'où l'intérêt de la fonction de répartition
Notion de loi de probabilité
Définition : Fonction de répartition
On appelle fonction de répartition, la distribution cumulée des probabilités de la loi de probabilité et on note : \(F(x) = \Pr(X\leqslant x)\)
\(F(x) = \Pr(X \leqslant x)\)
donc fonction croissante (la plupart des lois continues)
ou en escalier (lois discrètes)
On a vu que \(\Pr(X=x_i) = 0\)
mais on peut calculer la probabilité que \(x\) soit dans un intervalle
soit \(\Pr(x < X \leqslant x+\delta x)\)
Cette probabilité se calcule :
\(\Pr(x < X \leqslant x + \Delta x) = \Pr(X \leqslant x + \Delta x) - \Pr(X \leqslant x)\)
\(\Pr(x < X \leqslant x + \Delta x) = F(x+ \Delta x) - F(x)\)
si la fonction est dérivable, alors :
\(lim_{\Delta x \to 0} \{ [\Pr(X \leqslant x + \Delta x) - \Pr(X \leqslant x)] / \Delta x \}= lim_{\Delta x \to 0} (\Delta F / \Delta x) = dF/dX = f(x)\)
On appelle \(f(x)\) : (fonction) densité de probabilité
Deux propriétés :
\(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x)dx\)
et
\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1\)
Relations fondamentales en bayésien.