La loi Beta : quelques définitions
Un paramètre \(\theta\) est distribué suivant une loi Beta \(\theta\sim Be(\alpha\ ;\ \beta)\) si sa densité de probabilité suit :
\( \Pr(\theta) = \frac{1}{Be(\alpha ;\ \beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\)
où la fonction Beta \(Be(\alpha ;\ \beta)\) est définie par :
\( Be(\alpha\ ;\ \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)
les paramètres de la loi Beta : \(\alpha\) et \(\beta\) avec :
\(\alpha\) : nombre de succès dans une série de \(\alpha+\beta\) épreuves binaires
\(\beta\) : nombre d'échecs dans une série de \(\alpha+\beta\) épreuves binaires
Définition :
Principales propriétés de la loi Beta :
Moyenne d'une loi Beta : \(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\)
Variance d'une loi Beta : \(\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)
Mode d'une loi Beta : \(\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\)
et : \(\Gamma : z \mapsto \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\ \mathrm{d}t\)
et \(\Gamma(n+1)=n!\)