Notion de facteur de Bayes

La comparaison (le test) de deux valeurs peut se faire via le Facteur de Bayes.

  • on sait que :

    \(\Pr(\theta_1 |D) = \frac{\Pr(D|\theta_1)\Pr(\theta_1)}{\Pr(D|\theta_1)\Pr(\theta_1)+\Pr(D|\theta_2)\Pr(\theta_2)}\)

  • mais aussi que :

    \( \Pr(\theta_2 |D) = \frac{\Pr(D|\theta_2)\Pr(\theta_2)}{\Pr(D|\theta_2)\Pr(\theta_2)+\Pr(D|\theta_1)\Pr(\theta_1)}\)

  • on peut alors écrire :

    \( \frac{\Pr(\theta_1|D)}{\Pr(\theta_2|D)}=\frac{\Pr(D|\theta_1)}{\Pr(D|\theta_2)}\times\frac{\Pr(\theta_1)}{\Pr(\theta_2)}\)

  • on appelle facteur de Bayes le rapport \(\frac{\Pr(D|\theta_1)}{\Pr(D|\theta_2)}\)

Dans l'exemple :

\(\frac{\Pr(D|\theta_1)}{\Pr(D|\theta_2)} = \frac{0,1172}{0,2668}=0,439\)

qui est donc peu en faveur de \(\theta_1\).

  • BF (Bayes Factor) = rapport de vraisemblance

  • le BF transforme le rapport des probabilités a priori en rapport de probabilités a posteriori

  • il existe une classification des valeurs de BF

    • de 3 à 20 : substantiel

    • de 20 à 150 : fort

    • > 150 : décisif

  • les BF sont cohérents les uns par rapports aux autres lorsque l'on test/compare plus que deux hypothèses