Liens entre les différentes lois

Type des liens

Quand une variable aléatoire est distribuée selon une certaine loi, on peut sous certaines hypothèses supposer qu'elle soit aussi distribuée selon une autre loi.

  • Mécanisme de passage d'une loi à une autre

    1. Limite : quand \(n \mapsto \infty\) ou quand \(\theta \mapsto \infty\) alors \(L_1(\theta) \mapsto L_2(f(\theta))\)

    2. Transformation: si \(X \sim L_1\) alors \(f(X) \sim L_2\)

    3. Cas particulier: si \(X \sim L_1(\theta)\) alors \(X \sim L_2(f(\theta))\)

    4. Combinaisons: si \(X_1 \sim L_1\) et \(X_2 \sim L_2\) alors \(f(X_1,X_2) \sim L_3\)

  • Ces mécanismes peuvent se cumuler.

  • Intérêt

    • Loi plus simple, mieux connue

    • Situation de conjugaison (cf. plus loin)

ExempleExemples de liens entre les lois

Cas limites

  • Quand \(\lambda \mapsto \infty\), \(\mathcal{P}(\lambda) \mapsto \mathcal{N}\left( \lambda, \lambda \right)\)

    • En pratique, \(\lambda > 5\)

    • Diagramme en bâton de la loi de Poisson, correctement approché par l'histogramme d'une loi normale

  • Quand \(n \mapsto \infty\) et pour \(p\) petit, \(Bin(n, p) \mapsto \mathcal{P}( \lambda = np )\)

  • Quand \(k \mapsto \infty\) (\(k > 100\)), \(\chi^2(k) \mapsto \mathcal{N}(k, 2k)\).

  • Quand \(k \mapsto \infty\), \(t(k) \mapsto \mathcal{N}(0, 1)\).

Cas particulier

  • \(Bin(1,p) \Leftrightarrow Bern(p)\)

  • \(Weibull(1,\beta) \Leftrightarrow Exp(1/\beta)\)

  • \(\Gamma(k/2, 1/2) \Leftrightarrow \chi^2(k)\)

Cas particulier et transformation

  • \(X \sim \Gamma \left( \frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2} \right) \Leftrightarrow \beta X \sim \Gamma \left( \frac{\alpha}{2}, \frac{1}{2} \right) \Leftrightarrow \beta X \sim \chi^2(\alpha)\)

  • \(X \sim \mathsf{scaled-}\chi^2(k, \sigma) \Leftrightarrow k \sigma X \sim \chi^2(k) \Leftrightarrow k \sigma X \sim \Gamma(k/2, \frac{k \sigma}{2})\)

  • \(X \sim \mathsf{inv-}\Gamma(\alpha, \beta) \Leftrightarrow \frac{1}{X} \sim \Gamma(\alpha, \frac{1}{\beta})\)