Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• Généralisation multidimensionnelle de la loi du \(\chi^2\)

• Supposons que \(\boldsymbol{X}\) est une matrice \(n\times p\), les lignes sont des vecteurs aléatoires indépendants et suivent une loi normale p-dimensionnelle centrée : \(X_{(i)}{=}(x_i^1,\dots,x_i^p)\sim \mathcal{N}_p(0,\boldsymbol{V})\). Alors la loi de Wishart est la loi de probabilité de la matrice de dimension \(p\times p\), \(S=X^T X\).

• Densité, moyenne, variance, ... sont très compliquées à écrire.

• C'est une famille de lois de probabilité sur les matrices définies positives, symétriques.

• Une variable aléatoire de loi de Wishart est donc une matrice aléatoire.

On écrira

\(X\) est une matrice aléatoire distribuée selon une loi de Wishart

sous la forme \(\color{red}{X \sim \mathcal{W}_p(V,n)}\), où

• \(n\) est le nombre de lois multinormales dans \(X\)

• \(p\) est la dimension des \(n\) lois multinormales dans \(X\)

• \(V\) est la matrice de variance-covariance des \(n\) multinormales

• Si \(p=1\) et \(V=\mathbf{1}\), alors la loi de Wishart est la loi du \(\chi^2\) à \(n\) degrés de liberté