Définition de la loi du \(\chi^2\)
Soient \(k\) variables aléatoires \(X_i\) suivant des lois normales de moyennes \(\mu_i\) et d'écart-types \(\sigma_i\)
La variable \(Y = \sum^k{\left( \dfrac{X_i - \mu_i}{\sigma_i} \right)^2}\), somme des variables \(X_i\), centrées et réduites, au carré est distribuée selon une loi du \(\chi^2\) à \(k\) degrés de liberté.
Le paramètre de la loi du \(\chi^2\) est le nombre de degrés de liberté.
Principalement utilisée dans le test du \(\chi^2\) pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à la loi multinomiale sous l'hypothèse nulle.
Bibliographie :
Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5 1900:50(302), 157-175.
Spécification
La formule de la densité de la loi du \(\chi^2\) est la suivante, où \(\Gamma(.)\) est la fonction gamma (cf. plus loin) :
\(f(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma\left(\dfrac{k}{2}\right)} x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\)
Entièrement spécifiée par le nombre de degrés de liberté \(k\)
La moyenne vaut \(k\)
La variance vaut \(2k\)
La médiane n'a pas d'expression explicite
Le mode vaut \(k-2\) pour \(k \geqslant 2\)
La formule de la fonction de répartition n'est pas du tout triviale !
On écrira
X est une variable aléatoire distribuée selon une loi du \(\chi^2\) à \(k\) degrés de liberté
sous la forme \(\color{red}{X \sim \chi^2(k)}\)
Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (supérieur à 100), la loi peut être approchée par une normale de moyenne \(k\) et de variance \(2k\)
Manipulation :
Choisir le nombre de degrés de liberté → voir l'effet sur le graphique de la densité de probabilité.
Augmenter le nombre de degrés de liberté → voir l'effet sur l'approximation normale.