Définition de la loi du

Soient variables aléatoires suivant des lois normales de moyennes et d'écart-types

La variable , somme des variables , centrées et réduites, au carré est distribuée selon une loi du à degrés de liberté.

Le paramètre de la loi du est le nombre de degrés de liberté.

Principalement utilisée dans le test du pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à la loi multinomiale sous l'hypothèse nulle.

Spécification

La formule de la densité de la loi du est la suivante, où est la fonction gamma (cf. plus loin) :

  • Entièrement spécifiée par le nombre de degrés de liberté

  • La moyenne vaut

  • La variance vaut

  • La médiane n'a pas d'expression explicite

  • Le mode vaut pour

La formule de la fonction de répartition n'est pas du tout triviale !

On écrira

X est une variable aléatoire distribuée selon une loi du à degrés de liberté

sous la forme

Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (supérieur à 100), la loi peut être approchée par une normale de moyenne et de variance

Manipulation

  • Choisir le nombre de degrés de liberté → voir l'effet sur le graphique de la densité de probabilité.

  • Augmenter le nombre de degrés de liberté → voir l'effet sur l'approximation normale.