Définition de la loi du
Soient variables aléatoires suivant des lois normales de moyennes et d'écart-types
La variable , somme des variables , centrées et réduites, au carré est distribuée selon une loi du à degrés de liberté.
Le paramètre de la loi du est le nombre de degrés de liberté.
Principalement utilisée dans le test du pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à la loi multinomiale sous l'hypothèse nulle.
Bibliographie :
Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine Series 5 1900:50(302), 157-175.
Spécification
La formule de la densité de la loi du est la suivante, où est la fonction gamma (cf. plus loin) :
Entièrement spécifiée par le nombre de degrés de liberté
La moyenne vaut
La variance vaut
La médiane n'a pas d'expression explicite
Le mode vaut pour
La formule de la fonction de répartition n'est pas du tout triviale !
On écrira
X est une variable aléatoire distribuée selon une loi du à degrés de liberté
sous la forme
Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (supérieur à 100), la loi peut être approchée par une normale de moyenne et de variance
Manipulation :
Choisir le nombre de degrés de liberté → voir l'effet sur le graphique de la densité de probabilité.
Augmenter le nombre de degrés de liberté → voir l'effet sur l'approximation normale.