Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

Soient $k$ variables aléatoires $X_i$ suivant des lois normales de moyennes $\mu_i$ et d'écart-types $\sigma_i$

La variable $Y = \sum^k{\left( \dfrac{X_i - \mu_i}{\sigma_i} \right)^2}$, somme des variables $X_i$, centrées et réduites, au carré est distribuée selon une loi du $\chi^2$ à $k$ degrés de liberté.

Le paramètre de la loi du $\chi^2$ est le nombre de degrés de liberté.

Principalement utilisée dans le test du $\chi^2$ pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à la loi multinomiale sous l'hypothèse nulle.

La formule de la densité de la loi du $\chi^2$ est la suivante, où $\Gamma(.)$ est la fonction gamma (cf. plus loin) :

$f(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma\left(\dfrac{k}{2}\right)} x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}$

• Entièrement spécifiée par le nombre de degrés de liberté $k$

• La moyenne vaut $k$

• La variance vaut $2k$

• La médiane n'a pas d'expression explicite

• Le mode vaut $k-2$ pour $k \geqslant 2$

La formule de la fonction de répartition n'est pas du tout triviale !

On écrira

X est une variable aléatoire distribuée selon une loi du $\chi^2$ à $k$ degrés de liberté

sous la forme $\color{red}{X \sim \chi^2(k)}$

Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (supérieur à 100), la loi peut être approchée par une normale de moyenne $k$ et de variance $2k$