La mathématique des probabilités
Vers la manipulation de la probabilité
Une fois le concept de probabilité cerné, il manquait encore des outils mathématiques pour manipuler les probabilités.
Les premiers outils viennent de la famille Bernoulli (originaire de Bâle)
4 frères dont Jacques (1654-1705) et Jean (1667-1748)
Neveu Nicolas (1687-1759) et Daniel (1700-1782), fils de Jean
Jean (1744-1807), neveu de Daniel
Jacques (Jakob) Bernoulli
Loi des grands nombres :
les caractéristiques d'un échantillon aléatoire se rapprochent d'autant plus des caractéristiques statistiques de la population que la taille de l'échantillon augmente
Les bases de la théorie mathématique des probabilités
Bibliographie :
Bernoulli Jacques. Ars conjectandi. Thurnisiorum, Basel, 1713.
Mais aussi de De Moivre
Bibliographie :
De Moivre A. The doctrine of chance or a method of calculating the probability of events to play. London, 1713.
Thomas Simpson (1710-1761) va marquer un virage majeur dans l'histoire des probabilités.
Deux premiers ouvrages complètent (et corrigent) Ars conjectandi.
Le troisième ouvre le champ de la probabilité inverse et de la quantification de l'incertitude.
Bibliographie :
Simpson T. The nature of laws of chance. Edward Cave, London, 1740.
Simpson T. The doctrine of annuities and reversions. J. Nourse, London, 1742.
Simpson T. An appendix containing some remarks on a late book on the same subject, with answers to some personal and malignant misrepresentations, in the preface thereof. J. Nourse, London, 1743.
La probabilité inverse
Bibliographie :
Simpson T. An appendix containing some remarks on a late book on the same subject, with answers to some personal and malignant misrepresentations, in the preface thereof. J. Nourse, London, 1743.
La position des astres est inconnue.
C'est la distribution des erreurs de mesure de leur position qui est fixe et connue (loi binomiale en l'occurrence).
Cette présentation va poser la question de la probabilité inverse, qui trouvera sa réponse par le théorème de Bayes
Formalisation :
\(O\) est l'observation, \(\epsilon\) est l'erreur de mesure et \(P\) la mesure
\(O=P+\epsilon\)
Simpson considère une distribution de probabilité sur \(\epsilon\) et que \(P\) est une quantité fixe alors on doit obtenir une distribution sur \(O\)
Mais comme on peut écrire \(P=O-\epsilon\), si on considère \(O\) comme fixe alors on obtient une distribution sur \(P\)
Ceci suggère l'idée d'une inférence inverse « remontant » de manière probabiliste d'un effet observé, \(O\), vers sa cause, \(P\)
Réponse :
Bibliographie :
Bayes T. An essay toward solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1763:53, 370-418.