Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• Définition de la culture fréquentiste → Fisher et ses outils d'inférence

• Définition de la culture bayésienne

  • Utilisation du théorème de Bayes ? → non, car théorème (aujourd'hui trivial) sur les probabilités conditionnelles

  • Utilisation de lois a priori ? → non, car prior non informatif \(\Leftrightarrow\) probabilité fiduciaire

  • loi a posteriori ? → non, car estimation ponctuelle et intervalle de confiance (crédibilité)

^[1]Inférence scientifique et théorie de la probabilité

• Justification d'un part inductive dans l'inférence scientifique

• Incertitude \(\Rightarrow\) théorie de la probabilité

• Inférence statistique \(\Rightarrow\) probabilité inverse

• Principe de la raison insuffisante → recours à Keynes

• Exprimé par Bernoulli J. puis Laplace : en l'absence de connaissance a priori tous les événements ont la même probabilité.

• Renommé « principe d'indifférence » par Keynes (1921).

\(\Rightarrow\) distribution uniforme, la plus simple des distributions a priori dites « non informatives ».

• Mais attention (et là Fisher n'était plus d'accord), si on utilise la distribution uniforme en loi a priori alors la probabilité inverse et la vraisemblance sont interchangeables.

• Ce principe avait pour intérêt de simplifier les calculs en inférence bayésienne → ce n'est plus une nécessité de nos jours.

• Fisher : fréquentiste (J. Venn)

  1. Rapport de deux nombres \(\frac{n}{N}\)

  2. Ces deux nombres tendent vers l'infini quand la taille de l'échantillon augmente mais ...

  3. ... le rapport tend vers la vraie valeur dans la population

• Jeffreys: subjective (JM. Keynes) \(\Rightarrow\) degré de conviction raisonnable édicté par un homme conséquent

L'inférence statistique et l'ubiquité de la probabilité

• Inférence statistique: échantillon → population

• Inférence \(\Rightarrow\) incertitude

• Incertitude \(\Rightarrow\)

Fréquentiste : notions ad hoc (vraisemblance)

Bayésien : théorie de la probabilité et probabilité inverse (désormais sans la nécessité du principe de la raison insuffisante)