Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

Aucun n'est utilisé fréquemment

\(p(\mu,\sigma^2) \rightarrow\) difficultés conceptuelles

\(p(\mu,\sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2)\) → la connaissance sur \(\sigma^2\) n'apporte aucune connaissance sur \(\mu\) (?)

\(p(\mu,\sigma^2) \propto 1/\sigma^2\)

• Prior de Jeffreys (\(\pm\)) et « reference prior » (non-informatif)

• Distribution impropre

• Permet de trouver les mêmes résultats que l'inférence fréquentiste

\(p(\mu,\sigma^2) \propto \mu\) → cas précédent (\(\sigma^2\) est une quantité connue, fixe)

\(p(\mu,\sigma^2) \propto 1/\sigma^2\) (en fait sous l'hypothèse d'une moyenne connue)

Juste les résultats, les détails dans la suite

A posteriori, après observation d'un \(n\)-échantillon dans lequel on a mesuré moyenne, \(\bar{y}\) et variance \(s^2\)

• \(1 / \sigma^2 | y \sim \Gamma \left(\frac{n-1}{2}, \frac{(n-1)s^2}{2} \right)\)

• \(\mu | \sigma^2, y \sim \mathcal{N} \left(\bar{y}, \frac{\sigma^2}{n} \right)\)

• \(p(\mu | y) = \displaystyle{\int}{p(\mu, \sigma^2 | y) \mathrm{d} \sigma^2}\) → loi de Student

  • Moyenne \(\bar{y}\)

  • Variance \(\frac{s^2}{n}\)

  • Degrés de liberté \(n-1\)