Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• On s'intéresse à une variable aléatoire \(Y\), supposée normalement distribuée dans la population

• On dispose d'un échantillon de taille \(n\) dans lequel on a mesuré (sans erreur) des réalisations de cette variable aléatoire

→ série de \(n\) mesures \(y_1, \ldots, y_n\)

• La question : quelles sont moyenne et précision (ou variance) de \(Y\) dans la population?

inférence bayésienne sur \(\mu\) et \(\tau = 1/\sigma^2\)

\(\Rightarrow\) Distribution a posteriori sur \(\mu\) et \(\tau\) mais ici focus sur les estimations ponctuelles

• On suppose que les données \(Y_1, \ldots, Y_n\) sont normalement distribuées \(Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\).

• La vraisemblance de l'échantillon est alors \(\mathcal{L}_n = p(y_1, \ldots, y_n | \mu, \sigma^2) = \prod^n{p(y_i | \mu, \sigma^2)}\) simplifié en \(\mathcal{L}_n = \left(2\pi \color{red}{\sigma^2}\right)^{-n/2} \exp{\left\{-\dfrac{1}{2 \color{red}{\sigma^2}} \sum^n{\left(y_i - \color{red}{\mu} \right)^2} \right\}}\)

• On a deux paramètres à estimer → comment faire ?

• On va étudier deux cas

  1. on simplifie le problème en estimant la moyenne mais en supposant la variance connue \(\Rightarrow\) devient une quantité fixe, une constante ;

     (applications rares, pour pédagogie)

  2. on estime la moyenne et la variance.