Poisson [Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins]

Exemple de la vraisemblance de Poisson

On a à estimer un paramètre, $\mu$ , dans une population à partir d'un nombre d'événements $y$ .
La vraisemblance d'un échantillon, $p(y|\mu)$ , est une loi de Poisson de paramètre $\mu$ .
Pour être dans la situation conjuguée, il faut choisir une loi a priori gamma sur le paramètre $\mu$ pour que, combinée à la vraisemblance de Poisson, la loi a posteriori de $\mu$ soit aussi une loi gamma.
De plus, si $\mu \sim \mathcal{G}(a_0, b_0)$ (loi a priori) alors $\mu|y \sim \mathcal{G}(a_0+y, b_0+1)$ (loi a posteriori).

la vraisemblance est une distribution de Poisson de paramètre $\mu$ , donc avec un nombre d'événements $y$ , on a $\mathcal{L} = \dfrac{\mu^y \exp{(-\mu)}}{y!} \propto \mu^y \exp{(-\mu)}$ (en ne retenant que les termes aléatoires);
la loi a priori sur $\mu$ est une loi gamma de paramètres $a_0$ et $b_0$ donc de densité $\dfrac{\mu^{a_0-1}b_0^{a_0} \exp{(-b_0\mu)}}{\Gamma(a_0)} \propto \mu^{a_0-1} \exp{(-b_0\mu)}$ (en ne retenant que les termes où $\mu$ intervient);
la loi a posteriori sur $\mu$ est proportionnelle au produit de la vraisemblance et de la loi a priori et peut être écrite, après quelques ré-arrangements, en $\mu^{a_0+y-1} \exp{\left(\mu(b_0+1)\right)}$ . On reconnaît là le noyau d'une loi gamma de paramètres $a_0+y$ et $b_0+1$ .

On peut calculer certaines caractéristiques de la loi gamma a posteriori:
- moyenne: $\dfrac{a_0+y}{b_0 + 1}$ ;
- variance: $\dfrac{a_0+y}{(b_0 + 1)^2}$ ;
- mode: $\dfrac{a_0+y-1}{b_0+1}$ .
On sait par contre qu'on ne peut pas calculer les quantiles de la loi (mais les obtenir avec la fonction quantiles de R à partir de simulations de valeurs).

$\Rightarrow$ loi gamma a posteriori