Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

On a à estimer un pourcentage, $\theta$, dans une population à partir d'un nombre de succès, $y$, mesuré sur un ensemble d'essai $n$.

• La vraisemblance $p(y|\theta)$ est une loi binomiale de paramètres $\theta$ et $n$.

• Pour être dans la situation conjuguée, il faut choisir une loi a priori beta sur le paramètre $\theta$ pour que, combinée à la vraisemblance binomiale, la loi a posteriori de $\theta$ soit aussi une loi beta.

• De plus, si $\theta \sim \mathcal{B}(a_0, b_0)$ (loi a priori) alors $\theta|y \sim \mathcal{B}(a_0+y, b_0+n-y)$ (loi a posteriori) : la loi a posteriori est une loi beta de paramètre $a_0$+succès et $b_0$+échecs.

• On peut calculer certaines caractéristiques de la loi beta a posteriori :

  • moyenne: $\dfrac{a_0+y}{a_0 + y + b_0 + n - y} = \dfrac{a_0+y}{a_0 + b_0 + n}$;

  • variance: $\dfrac{(a_0+y)(b_0+n-y)}{(a_0 + b_0 + n)^2(a_0 + b_0 + n + 1)}$;

  • mode: $\dfrac{a_0+y-1}{ a_0 + b_0 + n - 2}$.

• On sait par contre qu'on ne peut pas calculer les quantiles de la loi (mais les obtenir avec la fonction quantiles de R à partir de simulations de valeurs).