Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

On a à estimer un pourcentage, \(\theta\), dans une population à partir d'un nombre de succès, \(y\), mesuré sur un ensemble d'essai \(n\).

• La vraisemblance \(p(y|\theta)\) est une loi binomiale de paramètres \(\theta\) et \(n\).

• Pour être dans la situation conjuguée, il faut choisir une loi a priori beta sur le paramètre \(\theta\) pour que, combinée à la vraisemblance binomiale, la loi a posteriori de \(\theta\) soit aussi une loi beta.

• De plus, si \(\theta \sim \mathcal{B}(a_0, b_0)\) (loi a priori) alors \(\theta|y \sim \mathcal{B}(a_0+y, b_0+n-y)\) (loi a posteriori) : la loi a posteriori est une loi beta de paramètre \(a_0\)+succès et \(b_0\)+échecs.

• On peut calculer certaines caractéristiques de la loi beta a posteriori :

  • moyenne: \(\dfrac{a_0+y}{a_0 + y + b_0 + n - y} = \dfrac{a_0+y}{a_0 + b_0 + n}\);

  • variance: \(\dfrac{(a_0+y)(b_0+n-y)}{(a_0 + b_0 + n)^2(a_0 + b_0 + n + 1)}\);

  • mode: \(\dfrac{a_0+y-1}{ a_0 + b_0 + n - 2}\).

• On sait par contre qu'on ne peut pas calculer les quantiles de la loi (mais les obtenir avec la fonction quantiles de R à partir de simulations de valeurs).