Axiomatiques des événements
Calcul de probabilité
Il a pour objet l'étude des phénomènes aléatoires.
deux axiomes fondamentaux :
l'axiome des probabilités totales
l'axiome des probabilités composées ou conditionnelles.
Les probabilités définissent des lois nécessaires aux applications de la statistique
tests statistiques, en fréquentiste
méthodes bayésiennes, description et inférence
Définitions
Une expérience ou épreuve est aléatoire si l'on ne peut pas prédire avec certitude le résultat.
Par exemple parce que l'on ne maîtrise pas tous les paramètres de l'expérience.
Un événement aléatoire est un événement qui peut se réaliser lors d'une expérience (il ne se réalise pas forcément).
Exemples :
Exemple 1 :
Lancer d'une pièce = épreuve ou expérience aléatoire.
Obtenir face = événement aléatoire
Exemple 2 :
Recherche d'une hyperthermie chez un patient = épreuve ou expérience aléatoire.
Observer une hyperthermie = événement aléatoire
Remarque :
Ce qui est aléatoire :
Observer une hyperthermie, obtenir face
Ce qui ne l'est pas :
Avoir une hyperthermie, qui fait suite à une série de mécanismes physiques, chimiques et biologiques déterministe.
C'est la méconnaissance des conditions initiales qui rend l'observation du phénomène aléatoire mais le phénomène, en lui même, ne l'est pas (pas forcément).
Événement aléatoire et de probabilité
Définition : Éventualité
Une éventualité est un des résultats possibles lors d'une expérience encore appelée épreuve.
Définition : Univers des éventualités
= ensemble des résultats possibles lors d'une épreuve.
noté \(\Omega\)
encore appelé ensemble fondamental ou référentiel
Exemples :
Exemple 1 : l'univers des éventualités lors d'un lancer d'un dé \(\Omega= \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
Exemple 2 : l'univers des éventualités lors du lancer d'une pièce \(\Omega= \{P,\ F \}\).
Exemple 1 : soit un lancer de dé et l’événement suivant : « obtenir une face paire ».
L’événement est réalisé si on obtient \({ 2, \textrm{ou} \ 4, \textrm{ou} \ 6 }\).
Exemple 2 : L’événement « obtenir une face paire ou un trois » = éventualités suivantes : \({ 2, 4, 6, 3 }\).
Exemple 3 : L’événement « obtenir un 6 » correspond à l'éventualité \(\{6\}\).
Dans ce cas l’événement est singulier (ou élémentaire).
On peut définir d'autres événements pour une épreuve donnée.
Événements particuliers
événement certain « obtenir 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 » = \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) .
événement impossible « obtenir ni 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, ni 6 » = \(\emptyset\)
L’événement certain plus l’événement impossible plus tous les autres événements
= ensemble des événements
= ensemble des parties de \(\Omega\) (noté \(\mathcal{P}(\Omega)\))
Exemple :
Exemple 1 : Définir l'univers des éventualités \(\Omega\) et l'ensemble des parties de \(\Omega\) dans l'épreuve de lancer de pièce
L'univers des éventualités est \(\Omega = \{ Pile, Face \}\)
L'ensemble des parties de \(\Omega\) est : \(P(\Omega) = (\emptyset, Pile, Face,\Omega)\).
\(\emptyset\) : événement impossible
\(Pile\) est l’événement « obtenir Pile »
\(Face\) est l’événement « obtenir Face »
\(\Omega\) est l’événement « obtenir Pile ou Face »
Exemple 2 : Définir l'univers des éventualités \(\Omega\) et l'ensemble des parties de \(\Omega\) dans l'épreuve de lancer d'une figure géométrique à quatre faces notées a, b, c, d (tétraèdre).
l'univers des éventualités est : \(\Omega = \{ a, b, c, d \}\)
l'ensemble des parties de \(\Omega\) :
\(P(\Omega) =\)
nombre d'événements
\([\emptyset,\)
\((^4_0)=1\)
\(\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\},\)
\((^4_1)=4\)
\(\{a,d\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\},\)
\((^4_2)=6\)
\(\{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\},\)
\((^4_3)=4\)
\(\{a,b,c,d\} ]\)
\((^4_4) =1\)
Total
\(\sum_{i=0}^4 (^4_i)=16\)
Définition des classes d'événements
Définitions et notation de base en probabilité :
soit l'univers \(\Omega = \{a,b,c,d\}\)
Événement certain : \(\Omega = \{a,b,c,d\}\)
Événement impossible : \(\emptyset\)
Événement singulier : \(\{a\}\)
Événement contraire (complémentation) : si \(A = \{a,b\}\) alors \(\overline{A} = \{c,d\}\)
Événement conjonction : (« ET », noté \(\cap\) ) :
si \(A = \{a, b, c\}\) et \(B = \{a, d\}\) alors \(A \cap B = \{a\}\)
Événement réunion (« OU », noté \(\cup\) ) :
si \(A = \{a, b, c\}\) et \(B = \{a, d\}\) alors \(A \cup B = \{a, b, c ,d\}\)
Événements incompatibles : leur réalisation simultanée est impossible
si \(A = \{a, b\}\) et \(B = \{c, d\}\) alors \(A \cap B = \emptyset\)
Les événements singuliers sont tous incompatibles entre eux : \({a} \cap {b} = \emptyset\)
Événement implication (inclusion) : \(A = \{a, b, c\}\) et \(B = \{a, b\}\) on a \(B \subset A\) et la réalisation de B implique la réalisation de A.
Evènements indépendants : la réalisation de l'un des événements ne dépend pas de l'autre événement. Une autre définition sera donnée ailleurs.