Exercice 1

Comparer les proportions suivantes :

Soit un essai thérapeutique comparant deux traitements :

  • 3 succès parmi 10 sujets

vs

  • 5 succès parmi 9 sujets

Question 1

Le risque relatif (RR) est-il supérieur à 2 ?

Indice

Le Risque Relatif est le rapport du « risque » de succès dans les deux groupes.

Il faut comparer deux proportions par des lois Beta dont les paramètres s’interprètent en termes de nombre de succès et d'échecs et établir la loi de probabilité du rapport des taux de succès.

Solution

3 succès parmi 10 sujets impliquent 7 échecs. Si l'on utilise une loi a priori uniforme (une Be(1 ; 1)), alors la loi a posteriori dans le premier groupe est une loi Be(4 ; 8).

Dans le second groupe, toujours avec une loi a priori uniforme, on obtient une loi a posteriori Be(6 ; 5).

Avec R, on calcul :

M<-100000

gr1<-rbeta(M,4,8)

gr2<-rbeta(M,6,5)

RR<-gr1/gr2

# ceci établit empiriquement la loi de probabilité du RR

sum(RR>2)/M # qui vaut : 0,0079.

La probabilité que RR dépasse la valeur de 2 est donc de 0,79%, donc moins de 1%. On peut donc considérer avec une très forte probabilité que ce risque relatif est inférieur à 2.

Question 2

Faites une analyse de sensibilité.

Indice

Une analyse de sensibilité consiste à faire varier les lois a priori et à évaluer l'impact de ces modifications sur les résultats.

Solution

On peut (à titre d'exemple) choisir une loi a priori en faveur d'un succès dans le premier groupe, comme une Be(9 ; 1). On obtient comme loi a posteriori, la loi Be(9+3 ; 1+7)

Si on garde la même loi a priori uniforme dans le second groupe, on obtient alors le code suivant :

M<-100000

gr1<-rbeta(M,9+3,1+7)

gr2<-rbeta(M,6,5)

RR<-gr1/gr2

sum(RR>2)/M

On trouve que la probabilité que R soit supérieur à 2 = 0,05774 (environ, ce résultat diffère d'une simulation à l'autre) soit 5,7%.

Une analyse de sensibilité consiste à évaluer l'effet de toutes les lois a priori raisonnable sur le résultat, pour voir dans quel mesure le résultat est sensible à de faibles ou de fortes modifications de la loi a priori. Si le résultat change beaucoup pour de faibles modifications de la loi a priori, cela est un indice pointant vers une quantité insuffisante de données.