Introduction à la statistique bayésienne pour les ingénieurs et les médecins

• estimation d'une proportion

• test d'une proportion

• via une loi \(Beta(\alpha ; \beta)\) comme loi a priori

• propriété de la loi Beta() \(\to\) obtention des paramètres de la loi a posteriori

• pour \(x\) succès parmi \(n\) valeurs : \( p|D \sim Beta(\alpha + x ; \beta +n-x)\)

La loi Beta() a posteriori est étudiée analytiquement ou par échantillonnage McMC

• notion de test

• la même loi Beta a posteriori peut servir de base à la description de \(p\) et à la réalisation d'un test sur \(p\)

• test de comparaison d'une proportion à une proportion de référence

• solution analytique ou par simulation McMC

Contexte :

• comparaison de deux proportions

• situation très fréquente en médecine

• Ex. (1) : comparaison de deux traitements dans un essai thérapeutique avec critère de jugement binaire

• Ex. (2) : recherche de l'exposition ou non à un toxique dans une étude cas-témoins

→ comparaison de deux proportions

Le contexte : les paramètres

• \(N_A\) et \(N_B\)

• succès \(x_A\) et \(x_B\)

• taux de succès \(x_A/N_A\) et \(x_B/N_B\)

Le contexte : les indices quantifiant l'effet du traitement

• soit \((x_A/N_A) = p_A\) et \(p_B= (x_B/N_B)\)

  alors :

• la différence de risque : \( DR = p_A - p_B\)

• le risque relatif : \(RR = p_A / p_B\)

• l'odds-ratio \(OR = (p_A \times (1-p_B)) / (p_B \times (1-p_A))\)

• le nombre nécessaire à traiter : \(NNT = \frac{1}{|p_A - p_B|}\)

Il existe d'autres indices de taille d'effet.

→ il existe différentes façons de constituer un échantillon dans une table \(2 \times 2\)

1. aucune marge fixée : on échantillonne un effectif total \(N\) sans s'occuper de la répartition selon les 2 variables

2. une marge fixée : l'une des variables est une variable de groupe dont les effectifs sont choisis ou déterminés et on échantillonne dans chacun des deux groupes, indépendamment

3. deux marges fixées : la répartition suivant chaque marge est connue avant de recueillir les données et il reste à observer la façon dont les données se combinent sur ces deux variables

• Les autres cas rapidement :

• aucune marge fixée : loi de Dirichlet (extension des Beta())

• deux marges fixées : loi hypergéométrique (uniquement dans OpenBUGS)

Soit deux groupes \(G_1\) et \(G_2\)

• un critère de jugement / une variable binaire

• dans chaque groupe estimation d'une proportion

→ comment comparer les taux de succès / les deux proportions des deux groupes avec une méthode bayésienne ?

→ comment quantifier la différence de taux de succès / les deux proportions entre les deux groupes ?

• très proche de l'estimation et du test d'une proportion

• \(p\) suit une loi Beta dans chaque groupe

• donc \(p_A \sim Beta_A(\alpha_A ; \beta_A)\) et \(p_B \sim Beta_B(\alpha_B ; \beta_B)\)

• solution non analytique → McMC

• détermination des indices de taille d'effet quantifiant la « différence » entre proportions à partir des chaînes McMC