Loi Beta

Définition

\(\theta\) est distribué suivant une loi Beta \(\theta\sim Be(\alpha\ ;\ \beta)\) si sa densité de probabilité suit :

\(\Pr(\theta) = \frac{1}{B(\alpha\ ;\ \beta)}\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\)

où la fonction Beta \(Be(\alpha\ ;\ \beta)\) est définie par :

\( Be(\alpha\ ;\ \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)

les paramètres de la loi Beta : \(\alpha\) et \(\beta\)

avec :

  • \(\alpha\) : nombre de succès dans une série de \(\alpha+\beta\) épreuves binaires

  • \(\beta\) : nombre d'échecs dans une série de \(\alpha+\beta\) épreuves binaires

Principales propriétés :

  • \(\alpha, \beta \in ]0; +\infty [\)

  • Moyenne d'une loi beta : \(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\)

  • Variance d'une loi beta : \(\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)

  • Mode d'une loi beta : \(\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\)

  • et : \(\Gamma : z \mapsto \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\ \mathrm{d}t\)

  • et \(\Gamma(n+1)=n!\) pour n entier (cf. plus loin la fonction \(\color{#0060A9}{\Gamma}\))

loi Be(1 ; 1)
loi Be(2 ; 2)
loi Be(20 ; 20)
loi Be(5 ; 25)
loi Be(28 ; 4)
loi Be(0,5 ; 0,5)

Loi Beta et estimation d'une proportion

La loi Beta uniforme : \(Be(1\ ;\ 1)\) :

\(\Pr(\theta) = \frac{\Gamma(2)}{\Gamma(1)\Gamma(1)}\theta^{1-1}(1-\theta)^{1-1} = \frac{1}{1\times1} 1 \times 1 = 1\)

Manipulation